Деление в столбик. Деление нуля на целое число

В этой статье мы разберем такое важное действие с десятичными дробями, как деление. Сначала сформулируем общие принципы, затем разберем, как правильно выполнять деление десятичных дробей столбиком как на другие дроби, так и на натуральные числа. Далее мы разберем деление обыкновенных дробей на десятичные и наоборот, а в конце посмотрим, как правильно выполнять деление дробей, заканчивающихся на 0 , 1 , 0 , 01 , 100 , 10 и др.

Здесь мы возьмем только случаи с положительными дробями. Если же перед дробью стоит минус, то для действия с ней нужно изучить материал о делении рациональных и действительных чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Все десятичные дроби, как конечные, так и периодические, представляют из себя всего лишь особую форму записи обыкновенных дробей. Следовательно, на них распространяются те же принципы, что и на соответствующие им обыкновенные дроби. Таким образом, весь процесс деления десятичных дробей мы сводим к замене их на обыкновенные с последующим вычислением уже известными нам способами. Возьмем конкретный пример.

Пример 1

Разделите 1 , 2 на 0 , 48 .

Решение

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных. У нас получится:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Таким образом, нам надо разделить 6 5 на 12 25 . Считаем:

1 , 2: 0 , 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 · 25 12 = 6 · 25 5 · 12 = 5 2

Из получившейся в итоге неправильной дроби можно выделить целую часть и получить смешанное число 2 1 2 , а можно представить ее в виде десятичной дроби, чтобы она соответствовала исходным цифрам: 5 2 = 2 , 5 . О том, как это сделать, мы уже писали ранее.

Ответ: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Пример 2

Посчитайте, сколько будет 0 , (504) 0 , 56 .

Решение

Для начала нам нужно перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

После этого конечную десятичную дробь также переведем в другой вид: 0 , 56 = 56 100 . Теперь у нас есть два числа, с которыми нам будет легко провести необходимые вычисления:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 · 100 56 = 100 111

У нас получился результат, который мы также можем перевести в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель, используя метод столбика:

Ответ: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Если же в примере на деление нам встретились непериодические десятичные дроби, то мы будем действовать немного иначе. Мы не можем их привести к привычным обыкновенным дробям, поэтому при делении приходится предварительно округлять их до определенного разряда. Это действие должно быть выполнено как с делимым, так и с делителем: имеющуюся конечную или периодическую дробь в интересах точности мы тоже будем округлять.

Пример 3

Найдите, сколько будет 0 , 779 … / 1 , 5602 .

Решение

Первым делом мы округляем обе дроби до сотых. Так мы переходим от бесконечных непериодических дробей к конечным десятичным:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Можем продолжить подсчеты и получить примерный результат: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 78: 1 , 56 = 78 100: 156 100 = 78 100 · 100 156 = 78 156 = 1 2 = 0 , 5 .

Точность результата будет зависеть от степени округления.

Ответ: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Как разделить натуральное число на десятичную дробь и наоборот

Подход к делению в этом случае практически аналогичен: конечные и периодические дроби заменяем обыкновенными, а бесконечные непериодические округляем. Возьмем для начала пример деления с натуральным числом и десятичной дробью.

Пример 4

Разделите 2 , 5 на 45 .

Решение

Приведем 2 , 5 к виду обыкновенной дроби: 255 10 = 51 2 . Далее нам надо просто разделить ее на натуральное число. Делать это мы уже умеем:

25 , 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 · 1 45 = 17 30

Если перевести результат в десятичную запись, то мы получим 0 , 5 (6) .

Ответ: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Метод деления столбиком хорош не только для натуральных чисел. По аналогии мы можем использовать его и для дробей. Ниже мы укажем последовательность действий, которую нужно для этого осуществить.

Определение 1

Для деления столбиком десятичных дробей на натуральные числа необходимо:

1. Добавить к десятичной дроби справа несколько нулей (для деления мы можем добавлять любое их количество, которое нам необходимо).

2. Разделить столбиком десятичную дробь на натуральное число, используя алгоритм. Когда деление целой части дроби подойдет к концу, мы ставим запятую в получившемся частном и считаем дальше.

Результатом такого деления может стать как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь. Это зависит от остатка: если он нулевой, то результат окажется конечным, а если остатки начнут повторяться, то ответом будет периодическая дробь.

Возьмем для примера несколько задач и попробуем выполнить эти шаги уже с конкретными числами.

Пример 5

Вычислите, сколько будет 65 , 14 4 .

Решение

Используем метод столбика. Для этого допишем к дроби два нуля и получим десятичную дробь 65 , 1400 , которая будет равна исходной. Теперь пишем столбик для деления на 4:

Полученное число и будет нужным нам результатом деления целой части. Ставим запятую, отделяя ее, и продолжаем:

Мы добрались до нулевого остатка, следовательно, процесс деления завершен.

Ответ: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Пример 6

Разделите 164 , 5 на 27 .

Решение

Делим сначала дробную часть и получаем:

Отделяем полученную цифру запятой и продолжаем делить:

Мы видим, что остатки стали периодически повторяться, и в частном стали чередоваться цифры девять, два и пять. На этом мы остановимся и запишем ответ в виде периодической дроби 6 , 0 (925) .

Ответ: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Такое деление можно свести к уже описанному выше процессу нахождения частного десятичной дроби и натурального числа. Для этого нам потребуется умножить делимое и делитель на 10 , 100 и др. так, чтобы делитель превратился в натуральное число. Дальше выполняем описанную выше последовательность действий. Такой подход возможен благодаря свойствам деления и умножения. В буквенном виде мы записывали их так:

a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) и так далее.

Сформулируем правило:

Определение 2

Для деления одной конечной десятичной дроби на другую необходимо:

1. Перенести запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число. Если в делимом не хватит знаков, допишем в него нули с правой стороны.

2. После этого делим дробь столбиком на получившееся натуральное число.

Разберем конкретную задачу.

Пример 7

Разделите 7 , 287 на 2 , 1 .

Решение: Чтобы делитель стал натуральным числом, нам надо перенести запятую на один знак вправо. Так мы перешли к делению десятичной дроби 72 , 87 на 21 . Запишем полученные числа столбиком и вычислим

Ответ: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Пример 8

Вычислите 16 , 3 0 , 021 .

Решение

Нам придется переносить запятую на три знака. В делителе для этого не хватит цифр, значит, нужно воспользоваться дополнительными нулями. Считаем, что получится в итоге:

Видим периодическое повторение остатков 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . В частном повторяются 1 , 9 , 0 , 4 , 7 и 5 . Тогда наш результат является периодической десятичной дробью 776 , (190476) .

Ответ: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

Описанный нами метод позволяет делать и наоборот, то есть делить натуральное число на конечную десятичную дробь. Посмотрим, как это делается.

Пример 9

Подсчитайте, сколько будет 3 5 , 4 .

Решение

Очевидно, что нам придется перенести запятую вправо на один знак. После этого мы можем приступить к делению 30 , 0 на 54 . Запишем данные столбиком и вычислим результат:

Повторение остатка дает нам в итоге число 0 , (5) , которое является периодической десятичной дробью.

Ответ: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Как разделить десятичные дроби на 1000, 100, 10 и др.

Согласно уже изученным правилам деления обыкновенных дробей, деление дроби на десятки, сотни, тысячи аналогично ее умножению на 1 / 1000 , 1 / 100 , 1 / 10 и др. Получается, чтобы выполнить деление, в данном случае достаточно просто перенести запятую на нужное количество цифр. Если значений в числе не хватит для переноса, нужно дописать нужное количество нулей.

Пример 10

Так, 56 , 21: 10 = 5 , 621 , а 0 , 32: 100 000 = 0 , 0000032 .

В случае с бесконечными десятичными дробями мы поступаем таким же образом.

Пример 11

Например, 3 , (56) : 1 000 = 0 , 003 (56) и 593 , 374 … : 100 = 5 , 93374 … .

Как разделить десятичные дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и др.

Воспользовавшись тем же правилом, мы можем так же разделить дроби на указанные значения. Это действие будет аналогично умножению на 1000 , 100 , 10 соответственно. Для этого мы переносим запятую на одну, две или три цифры в зависимости от условий задачи и дописываем нули, если цифр в числе окажется недостаточно.

Пример 12

К примеру, 5 , 739: 0 , 1 = 57 , 39 и 0 , 21: 0 , 00001 = 21 000 .

Это правило действует и в случае с бесконечными десятичными дробями. Советуем только быть внимательными с периодом дроби, которая получается в ответе.

Так, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , поскольку после того, как мы перенесли запятую в записи десятичной дроби 7 , 5716716716 … на два знака вправо, у нас получилось 757 , 167167 … .

Если же у нас в примере непериодические дроби, то все обстоит проще: 394 , 38283 … : 0 , 001 = 394382 , 83 … .

Как разделить смешанное число или обыкновенную дробь на десятичную и наоборот

Это действие мы также сводим к операциям с обыкновенными дробями. Для этого надо заменить десятичные числа соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число записать в виде неправильной дроби.

Если мы делим непериодическую дробь на обыкновенную либо на смешанное число, нужно поступить наоборот, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей им десятичной дробью.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Несмотря на то что математика кажется большинству людей наукой сложной, это далеко не так. Многие математические операции довольно легко понять, особенно если знать правила и формулы. Так, зная таблицу умножения, можно быстро перемножать в уме Главное - постоянно тренироваться и не забывать правил умножения. То же самое можно сказать и о делении.

Давайте же разберем деление целых чисел, дробных и отрицательных. Вспомним об основных правилах, приемах и методах.

Операция деления

Начнем, пожалуй, с самого определения и названия чисел, которые участвуют в данной операции. Это значительно облегчит дальнейшее изложение и восприятие информации.

Деление - одна из четырех основных математических операций. Изучение ее начинается еще в начальной школе. Именно тогда детям показывают первый пример деления числа на число, объясняют правила.

В операции участвуют два числа: делимое и делитель. Первое - число, которое делят, второе - на которое делят. Результатом деления является частное.

Имеется несколько обозначений для записи данной операции: «:», «/» и горизонтальная черта - запись в виде дроби, когда вверху находится делимое, а внизу, под чертой - делитель.

Правила

При изучении той или иной математической операции учитель обязан познакомить учеников с основными правилами, которые следует знать. Правда, не всегда они запоминаются так хорошо, как хотелось бы. Именно поэтому мы решили немного освежить в вашей памяти четыре фундаментальных правила.

Основные правила деления чисел, которые стоит помнить всегда:

1. Делить на ноль нельзя. Это правило следует запомнить в первую очередь.

2. Делить ноль можно на любое число, но в итоге всегда будет ноль.

3. Если число поделить на единицу, мы получим то же число.

4. Если число разделить на само себя, мы получим единицу.

Как видите, правила довольно простые и легко запоминаются. Хотя некоторые и могут забывать такое простое правило, как невозможность или же путать с ним деление ноля на число.

на число

Одно из наиболее полезных правил - признак, по которому определяется возможность деления натурального числа на другое без остатка. Так, выделяют признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9, 10. Рассмотрим их подробнее. Они существенно облегчают выполнение операций над числами. Также приведем для каждого правила пример деления числа на число.

Данные правила-признаки довольно широко используются математиками.

Признак делимости на 2

Наиболее простой для запоминания признак. Число, которое оканчивается на четную цифру (2, 4, 6, 8) или 0, всегда делится на два нацело. Довольно просто для запоминания и использования. Так, число 236 оканчивается на четную цифру, а значит, делится на два нацело.

Проверим: 236:2 = 118. Действительно, 236 делится на 2 без остатка.

Данное правило наиболее известно не только взрослым, но и детям.

Признак делимости на 3

Как правильно выполнить деление чисел на 3? Запомнить следующее правило.

Число делится на 3 нацело в том случае, если сумма его цифр кратна трем. Для примера возьмем число 381. Сумма всех цифр будет составлять 12. Данное трем, а значит делится на 3 без остатка.

Также проверим данный пример. 381: 3 = 127, значит все верно.

Признак делимости чисел на 5

Тут также все просто. Разделить на 5 без остатка можно лишь те числа, которые оканчиваются на 5 либо же на 0. Для примера возьмем такие числа, как 705 или же 800. Первое заканчивается на 5, второе - на ноль, следовательно они оба делятся на 5. Это одно из простейших правил, которое позволяет быстро осуществлять деление на однозначное число 5.

Проверим данный признак на таких примерах: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Как видите, признак действует.

Делимость на 6

Если вы хотите узнать, делится ли число на 6, то вам сначала нужно выяснить, делится ли оно на 2, а затем - на 3. Если да, то число можно без остатка разделить на 6. К примеру, число 216 делится и на 2, так как заканчивается на четную цифру, и на 3, так как сумма цифр равна 9.

Проверим: 216:6 = 36. Пример показывает, что данный признак действует.

Делимость на 9

Поговорим также и о том, как осуществить деление чисел на 9. На данное число делятся те сумма цифр которых кратна 9. Аналогично правилу деления на 3. Например, число 918. Сложим все цифры и получим 18 - число, кратное 9. Значит, оно делится на 9 без остатка.

Решим данный пример для проверки: 918:9 = 102.

Делимость на 10

Последний признак, который стоит знать. На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0. Данную закономерность довольно просто и легко запомнить. Так, 500:10 = 50.

Вот и все основные признаки. Запомнив их, вы сможете облегчить себе жизнь. Конечно, есть и другие числа, для которых существуют признаки делимости, но мы с вами выделили лишь основные из них.

Таблица деления

В математике существует не только таблица умножения, но и таблица деления. Выучив ее, можно с легкостью выполнять операции. По сути, таблица деления представляет собой таблицу умножения наоборот. Составить ее самостоятельно не представляет труда. Для этого следует переписать каждую строку из таблицы умножения таким образом:

1. Ставим произведение числа на первое место.

2. Ставим знак деления и записываем второй множитель из таблицы.

3. После знака равенства записываем первый множитель.

Например, возьмем следующую строку из таблицы умножения: 2*3= 6. Теперь перепишим ее согласно алгоритму и получим: 6 ÷ 3 = 2.

Довольно часто детей просят самостоятельно составить таблицу, таким образом развивая их память и внимание.

Если же у вас нет времени на ее написание, то можете воспользоваться представленной в статье.

Виды деления

Поговорим немного о видах деления.

Начнем с того, что можно выделить деление целых чисел и дробных. При этом в первом случае можно говорить об операциях с целыми числами и десятичными дробями, а во втором - только о дробных числах. При этом дробным может являться как делимое или делитель, так и оба одновременно. связано с тем, что операции над дробями отличаются от операций с целыми числами.

Исходя из чисел, которые участвуют в операции, можно выделить два вида деления: на однозначные числа и на многозначные. Наиболее простым считается деление на однозначное число. Здесь вам не нужно будет проводить громоздкие вычисления. К тому же хорошо может помочь таблица деления. Делить же на другие - двух-, трехзначные числа - тяжелее.

Рассмотрим примеры для данных видов деления:

14:7 = 2 (деление на однозначное число).

240:12 = 20 (деление на двузначное число).

45387: 123 = 369 (деление на трехзначное число).

Последним можно выделить деление, в котором участвуют положительные и отрицательные числа. При работе с последними следует знать правила, по которым происходит присвоение результату положительного или отрицательного значения.

При делении чисел с разными знаками (делимое - число положительное, делитель - отрицательное, или наоборот) мы получаем отрицательное число. При делении чисел с одним знаком (и делимое, и делитель - положительные или же наоборот) - получаем число положительное.

Рассмотрим для наглядности следующие примеры:

Деление дробей

Итак, мы с вами разобрали основные правила, привели пример деления числа на число, теперь поговорим о том, как правильно выполнять эти же операции с дробями.

Несмотря на то что деление дробей поначалу кажется довольно тяжелым делом, в действительности работать с ними не так уж и трудно. Деление дроби выполняется практически так же, как и умножение, но с одним отличием.

Для того чтобы разделить дробь, следует сначала умножить числитель делимого на знаменатель делителя и зафиксировать полученный результат в виде числителя частного. Затем умножить знаменатель делимого на числитель делителя и записать результат как знаменатель частного.

Можно сделать и проще. Переписать дробь делителя, поменяв местами числитель со знаменателем, а затем перемножить полученные числа.

Например, разделим две дроби: 4/5:3/9. Для начала перевернем делитель, получим 9/3. Теперь перемножим дроби: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Как видите, все довольно легко и не сложнее, чем деление на однозначное число. Примеры на решаются просто, если не забывать данное правило.

Выводы

Деление - одна из математических операций, которые каждый ребенок изучает еще в начальной школе. Есть определенные правила, которые следует знать, приемы, облегчающие выполнение данной операции. Деление бывает с остатком и без, бывает деление отрицательных и дробных чисел.

Запомнить особенности данной математической операции довольно легко. Мы с вами разобрали наиболее важные моменты, рассмотрели не один пример деления числа на число, даже поговорили о том, как работать с дробными числами.

Если вы хотите улучшить свое знание математики, советуем вам запомнить эти несложные правила. Кроме того, можем посоветовать вам развивать память и навыки счета в уме, выполняя математические диктанты или просто пытаясь высчитать устно частное двух случайных чисел. Поверьте, эти навыки никогда не будут лишними.

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием « : » или знаком ÷ . Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a: b . Результат записывается после знака равно « = ». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a: b = c . Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел a и b с частным, равным с, можно представить обратным действием деления с на b с частным равным а. Если произведение чисел 5 и - 7 равна - 35 , отсюда имеем, что частное (− 35) : 5 равняется - 7 , а (− 35) : (− 7) с результатом 5 .

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель и произведение. Равенство 6 · (− 7) = − 42 говорит о том, что результаты (− 42) : 6 и (− 42) : (− 7) равняются - 7 и 6 соответственно. При известном произведении 45 , а одного из множителей - 5 , то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8 .

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80 + 24 ,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104: 8 = (80 + 24) : 8 = 80: 8 + 24: 8 = 10 + 3 = 13 .

Ответ: 104: 8 = 13 .

Пример 2

Найти частное от деления 308 716: 452 .

Решение

Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:

Ответ: 308 716: 452 = 683 .

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b , то искомое частное получится равным с. Форма записи: a: b = c . После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b · c = a справедливо. Значит, b · c = a . Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b · c = b · c , значит, и b · c = a . Отсюда получаем, что c = a: b . Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b · c = a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b · c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления:чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a: b = a: b , при а и b равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить - 92 на - 4 .

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что - 92: - 4 = - 92: - 4 = 92: 4 = 23

Ответ: (− 92) : (− 4) = 23 .

Пример 4

Вычислить - 512: (- 32) .

Решение

Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.

Ответ: (− 512) : (− 32) = 16 .

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с. Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c = a: b .

Чтобы определить смысл деления равенства b · c = a , необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить « - ». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a: b = - a: b .

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на - 4 .

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56: 4 = 14 . Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие « - » перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, - 14 .

Ответ: 56: (− 4) = − 14 .

Пример 5

Выполнить деление - 1625 на 25 .

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило

1625: 25 = - - 1625: 25 = - 1625: 25 = - 65

Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500 + 125 , применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: (− 1 625) : 25 = − 65 .

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0: b = 0 , где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b · c = 0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с = 0 . Отсюда следует, что частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0: 4 или 0: - 908 . Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0 .

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c · 0 = a . Правило умножения на нуль говорит о том, что c · 0 = 0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c · 0 = a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c · 0 = 0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на - 9 равен - 7 . Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (− 7) · (− 9) = 63 . Проверка показала, что 63 отлично от 72 , значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дети во 2-3 классе осваивают новое математическое действие – деление. Школьнику непросто вникнуть в суть данного математического действия, поэтому ему необходима помощь родителей. Родителям нужно понимать, как именно преподносить ребенку новую информацию. ТОП-10 примеров расскажут родителям о том, как нужно учить детей делению чисел столбиком.

Обучение делению в столбик в форме игры

Дети устают в школе, они устают от учебников. Поэтому родителям нужно отказаться от учебников. Подавайте информацию в форме увлекательной игры.

Можно поставить задачи таким образом:

1 Организуйте ребенку место для обучения в форме игры. Посадите его игрушки в круг, а ребенку дайте груши или конфеты. Предложите ученику разделить 4 конфеты между 2 или 3 куклами. Чтобы добиться понимания со стороны ребенка, постепенно прибавляйте количество конфет до 8 и 10. Даже если малыш будет долго действовать, не давите и не кричите на него. Вам потребуется терпение. Если ребенок делает что-то неправильно, исправляйте его спокойно. Затем, как он завершит первое действие деления конфет между участниками игры, попросит его вычислить, сколько конфет досталось каждой игрушке. Теперь вывод. Если было 8 конфет и 4 игрушки, то каждой досталось по 2 конфеты. Дайте ребенку понять, что разделить – это значит распределить равное количество конфет всем игрушкам.

2 Обучать математическому действию можно с помощью цифр. Дайте ученику понять, что цифры можно квалифицировать, как груши или конфеты. Скажите, что количество груш, которое требуется разделить – это делимое. А количество игрушек, на которых приходятся конфеты – это делитель.

3 Дайте ребенку 6 груш. Поставьте перед ним задачу: разделить количество груш между дедушкой, собакой и папой. Затем попросите его поделить 6 груш между дедушкой и папой. Объясните ребенку причину, по которой получился неодинаковый результат при делении.

4 Расскажите ученику о делении с остатком. Дайте ребенку 5 конфет и попросите его раздать их поровну между котом и папой. У ребенка останется 1 конфета. Расскажите ребенку, почему получилось именно так. Данное математическое действие стоит рассмотреть отдельно, так как это может вызвать сложности.

Обучение в игровой форме может помочь ребенку быстрее понять весь процесс деления чисел. Он сможет усвоить, что наибольшее число делится на наименьшее или наоборот. То есть, наибольшее число – это конфеты, а наименьшее – участники. В столбике 1 числом будет количество конфет, а 2 – количество участников.

Не перегружайте ребенка новыми знаниями. Обучать нужно постепенно. Переходить к новому материалу нужно тогда, когда предыдущий материал закреплен.

Обучение делению в столбик при помощи таблицы умножения

Ученики до 5 класса смогут разобраться в делении быстрее, при условии того, что они хорошо знают умножениz.

Родителям необходимо разъяснить, что деление имеет сходство с таблицей умножения. Только действия противоположны. Для наглядности нужно привести пример:

• Скажите ученику, чтобы он произвол умножение значений 6 и 5. Ответ – 30.
• Подскажите школьнику, что число 30 является результатом математического действия с двумя числами: 6 и 5. А именно, результатом умножения.
• Разделите 30 на 6. В результате математического действия получится 5. Школьник сможет убедиться в том, что деление – это то же, что и умножение, но наоборот.

Можно воспользоваться таблицей умножения для наглядности деления, если ребенок хорошо ее усвоил.

Обучение делению в столбик в тетради

Начинать обучение нужно тогда, когда ученик понял материал о делении на практике, с помощью игры и таблицы умножения.

Нужно начинать делить таким образом, применяя простые примеры. Так, деление 105 на 5.

Объяснять математическое действие нужно подробно:

• Напишите в тетради пример: 105 разделить на 5.
• Запишите это, как при делении в столбик.
• Расскажите, что 105 – делимое, а 5 – делитель.
• С учеником определите 1 цифру, которая допускает деление. Значение делимого – 1, эта цифра не делится на 5. А вот второе число – 0. В итоге получится 10, это значение допускается разделить данный пример. Число 5 два раза входит в число 10.
• В столбике деления, под числом 5, напишите цифру 2.
• Попросите ребенка число 5 умножить на 2. По итогу умножения получится 10. Это значение нужно записать под числом 10. Далее нужно написать в столбике знак вычитания. От 10 нужно отнять 10. Получится 0.
• Запишите в столбике число, получившееся в результате вычитания – 0. У 105 осталось число, которое не участвовало в делении – 5. Это число нужно записать.
• В итоге получится 5. Это значение нужно разделить на 5. Результат – цифра 1. Это число нужно записать под 5. Результат деления – 21.

Родителям нужно объяснить, что это деление не имеет остатка.

Начать деление можно с цифр 6,8,9, затем переходить к 22, 44, 66 , а после к 232, 342, 345 , и так далее.

Обучение делению с остатком

Когда ребенок усвоит материал о делении, можно усложнять задачу. Деление с остатком – это следующая ступень обучения. Объяснять нужно на доступных примерах:

• Предложите ребенку разделить 35 на 8. Запишите в столбик задачу.
• Чтобы ребенку было максимально понятно, можно показать ему таблицу умножения. В таблице наглядно видно, что в число 35 входит 4 раза число 8.
• Запишите под числом 35 число 32.
• Ребенку нужно от 35 вычесть 32. Получится 3. Число 3 является остатком.

Простые примеры для ребенка

На этом же примере можно продолжить:

• При делении 35 на 8 получается остаток 3. К остатку нужно дописать 0. При этом после цифры 4 в столбике нужно поставить запятую. Теперь результат будет дробным.
• При делении 30 на 8 получается 3. Эту цифру нужно записать после запятой.
• Теперь нужно под значением 30 написать 24 (результат умножения 8 на 3). В итоге получится 6. К цифре 6 тоже нужно дописать ноль. Получится 60.
• В число 60 помещается цифра 8 входит 7 раз. То есть, получится 56.
• При вычитании 60 от 56 получается 4. К этой цифре тоже нужно подписать 0. Получается 40. В таблице умножения ребенок может увидеть, что 40 – это результат умножения 8 на 5. То есть, в число 40 цифра 8 входит 5 раз. Остатка нет. Ответ выглядит так – 4,375.

Данный пример может показаться ребенку сложным. Поэтому нужно много раз делить значения, у которых будет остаток.

Обучение делению с помощью игр

Родители могут использовать игры на деление для обучения школьника. Можно дать ребенку раскраски, в которых нужно определить цвет карандаша путем деления. Нужно выбирать раскраски с легкими примерами, чтобы ребенок мог решить примеры в уме.

Картинка будет поделена на части, в которых будут результаты деления. А цвета, которые нужно использовать, будут примерами. Например, красный цвет помечен примером: 15 разделить на 3. Получится 5. Нужно найти часть картинки под этим номером и раскрасить ее. Математические раскраски увлекают детей. Поэтому родителям стоит попробовать данный способ обучения.

Обучение делению столбиком наименьшего числа на наибольшее

Деление данным методом предполагает, что частное будет начинаться с 0, а после него будет стоять запятая.

Чтобы ученик корректно усвоил полученную информацию, ему необходимо привести такого плана пример.

Содержимое:

На первый взгляд разделить целое число на десятичную дробь довольно трудно. В конце концов, никто не знает таблицу умножения на десятичные дроби, например, на 0,7. Секрет заключается в том, что нужно переписать задачу на деление так, чтобы в ней остались только целые числа – в этом случае вам останется разделить два числа в столбик.

Шаги

Часть 1 Перепишите задачу в другой форме

1. 1 Запишите задачу на деление. Если вы хотите вносить изменения, воспользуйтесь карандашом.
   • Например, решите задачу: 3 ÷ 1,2.
2. 2 Превратите целое число в десятичную дробь. Для этого после числа поставьте десятичную запятую, а затем напишите столько нулей, чтобы количество знаков после запятой у обеих дробей было равным. Имейте в виду, что нули, приписанные к целому числу после десятичной запятой, не меняют значения этого числа.
   • В нашем примере целым числом является число 3. Так как в десятичной дроби 1,2 после запятой стоит один знак, то перепишите 3 в виде 3,0, то есть припишите к 3 один нуль. Теперь исходная задача имеет вид: 3,0 ÷ 1,2.
   • Внимание: не приписывайте нули без десятичной запятой! Помните, что 3 = 3,0 = 3,00, но 3 ≠ 30 ≠ 300.
3. 3 Переместите десятичную запятую вправо так, чтобы десятичные дроби превратились в целые числа. В задачах на деление вы можете перемещать десятичную запятую каждой десятичной дроби, но только на одинаковое количество позиций после запятой. Это позволит вам преобразовать десятичные дроби в целые числа.
   • В нашем примере преобразуйте десятичные дроби 3,0 и 1,2 в целые числа, переместив десятичную запятую на одну позицию вправо. Таким образом, 3,0 превратится в 30, а 1,2 в 12. Теперь задача имеет вид: 30 ÷ 12.
4. 4 Перепишите задачу в виде деления в столбик. Для этого запишите делимое (как правило, это большее число) слева, а делитель (число, на которое делят) справа. Вы получите задачу на деление в столбик с целыми числами. Если вы не помните, как делить в столбик, перейдите в следующий раздел.

Часть 2 Деление в столбик

1. 1 Найдите первую цифру частного (результата деления). Для этого разделите первую цифру делимого на делитель. Результат напишите под делителем.
   • В нашем примере первой цифрой делимого является цифра 3. Разделите 3 на 12. Так 3 меньше 12, то результатом деления будет 0. Запишите 0 под делителем – это первая цифра частного.
2. 2 Умножьте полученный результат на делитель. Напишите результат умножения под первой цифрой делимого, так как эту цифру вы только что разделили на делитель.
   • В нашем примере 0 × 12 = 0, поэтому напишите 0 под 3.
3. 3 Вычтите результат умножения из первой цифры делимого. Запишите ответ на новой строке.
   • В нашем примере: 3 - 0 = 3. Напишите 3 непосредственно под 0.
4. 4 Спустите вниз вторую цифру делимого. Для этого запишите следующую цифру делимого рядом с результатом вычитания.
   • В нашем примере делимым является число 30. Вторая цифра делимого – это 0. Спустите ее вниз, записав 0 возле 3 (результат вычитания). Вы получите число 30.
5. 5 Полученный результат разделите на делитель. Вы найдете вторую цифру частного. Для этого разделите число, расположенное на самой нижней строке, на делитель.
   • В нашем примере разделите 30 на 12. 30 ÷ 12 = 2 плюс некоторый остаток (так как 12 х 2 = 24). Напишите 2 после 0 под делителем – это вторая цифра частного.
   • Если вы не можете найти подходящую цифру, перебирайте цифры до тех пор, пока результат умножения какой-либо цифры на делитель не окажется меньше и ближе всего к числу, расположенное последним в столбике. В нашем примере рассмотрим цифру 3. Умножьте ее на делитель: 12 х 3 = 36. Так как 36 больше 30, то цифра 3 не подходит. Теперь рассмотрим цифру 2. 12 х 2 = 24. 24 меньше 30, поэтому цифра 2 является верным решением.
6. 6 Повторите описанные выше шаги, чтобы найти следующую цифру. Описанный алгоритм используется в любой задаче на деление в столбик.
   • Умножьте вторую цифру частного на делитель: 2 х 12 = 24.
   • Напишите результат умножения (24) под последним числом в столбике (30).
   • Вычтите меньшее число из большего. В нашем примере: 30 - 24 = 6. Запишите полученный результат (6) на новой строке.
7. 7 Если в делимом остались цифры, которые можно спустить вниз, продолжите процесс вычисления. В противном случае перейдите к следующему шагу.
   • В нашем примере вы спустили вниз последнюю цифру делимого (0). Поэтому переходите к следующему шагу.
8. 8 В случае необходимости воспользуйтесь десятичной запятой, чтобы расширить делимое. Если делимое делится на делитель нацело, то на последней строке вы получите цифру 0. Это означает, что задача решена, а ответ (в виде целого числа) записан под делителем. Но если в самом низу столбика находится любая цифра, отличная от 0, необходимо расширить делимое, поставив десятичную запятую и приписав 0. Напомним, что это не меняет значения делимого.
   • В нашем примере на последней строке находится цифра 6. Поэтому справа от 30 (делимое) напишите десятичную запятую, а затем напишите 0. Также десятичную запятую поставьте после найденных цифр частного, которые вы записываете под делителем (после этой запятой пока ничего не пишите!).
9. 9 Повторите описанные действия, чтобы найти следующую цифру. Главное не забудьте поставить десятичную запятую как после делимого, так и после найденных цифр частного. В остальном процесс аналогичен процессу, описанному выше.
   • В нашем примере спустите вниз 0 (который вы написали после десятичной запятой). Вы получите число 60. Теперь разделите это число на делитель: 60 ÷ 12 = 5. Напишите 5 после 2 (и после десятичной запятой) под делителем. Это третья цифра частного. Таким образом, окончательный ответ: 2,5 (нулем перед 2 можно пренебречь).

• Решая задачу на деление, вы можете написать ответ с остатком (в нашем примере: 3 ÷ 1.2 = 2 ост. 6). Однако, работая с десятичными дробями, преподаватель, скорее всего, ждет, что вы представите ответ в виде десятичной дроби.
• Если вы правильно делите в столбик, в качестве ответа вы получите либо целое число (когда числа делятся нацело), либо десятичную дробь. Не пытайтесь угадать положение десятичной запятой в ответе – оно может отличаться от ее положения в делимом или в делителе.
• Существуют задачи, когда делить в столбик можно бесконечно долго. В этом случае остановитесь и округлите ответ. Например, 17 ÷ 4,20 = 4,047619... В этом случае округлите результат до 4,05.
• Запомните терминологию:
  • Делимое – число, которое делят.
  • Делитель – число, на которое делят.
  • Частное – результат деления.
  • Делимое ÷ Делитель = Частное.

Внимание

• Помните, что результат деления 30 ÷ 12 равен результату деления 3 ÷ 1.2. Не пытайтесь корректировать ответ, перемещая десятичную запятую.