Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.
Определение
Степенная функция с показателем степени p
- это функция f(x)
= x p
,
значение которой в точке x
равно значению показательной функции с основанием x
в точке p
.
Кроме этого, f(0) = 0
p = 0
при p > 0
.
Для натуральных значений показателя ,
степенная функция есть произведение n
чисел, равных x
:
.
Она определена для всех действительных .
Для положительных рациональных значений показателя ,
степенная функция есть произведение n
корней степени m
из числа x
:
.
Для нечетных m
,
она определена для всех действительных x
.
Для четных m
,
степенная функция определена для неотрицательных .
Для отрицательных ,
степенная функция определяется по формуле:
.
Поэтому она не определена в точке .
Для иррациональных значений показателя p
,
степенная функция определяется по формуле:
,
где a
- произвольное положительное число, не равное единице: .
При ,
она определена для .
При ,
степенная функция определена для .
Непрерывность . Степенная функция непрерывна на своей области определения.
Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице « ».
Степенная функция, y = x p
,
с показателем p
имеет следующие свойства:
(1.1)
определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2)
имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.5*)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.7*)
;
(1.8)
;
(1.9)
.
Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств) »
Определение
Корень из числа x
степени n
- это число , возведение которого в степень n
дает x
:
.
Здесь n = 2, 3, 4, ...
- натуральное число, большее единицы.
Также можно сказать, что корень из числа x
степени n
- это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .
Квадратный корень из числа x - это корень степени 2: .
Кубический корень из числа x - это корень степени 3: .
Для четных степеней n = 2
m
,
корень определен при x ≥ 0
.
Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x
:
.
Для квадратного корня:
.
Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.
Для нечетных степеней ,
корень определен для всех x
:
;
.
Корень из x
является степенной функцией:
.
При x ≥ 0
имеют место следующие формулы:
;
;
,
;
.
Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.
Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .
Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.
y = x p при различных значениях показателя p .
Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики »
Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .
Если ,
то .
Производная n-го порядка:
;
Вывод формул > > >
P ≠ - 1
;
.
При - 1
< x < 1
имеет место следующее разложение:
Рассмотрим функцию комплексного переменного z
:
f(z)
= z t
.
Выразим комплексную переменную z
через модуль r
и аргумент φ
(r = |z|
):
z = r e i φ
.
Комплексное число t
представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q
.
Имеем:
Далее учтем, что аргумент φ
определен не однозначно:
,
Рассмотрим случай, когда q = 0
,
то есть показатель степени - действительное число, t = p
.
Тогда
.
Если p
- целое, то и kp
- целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z
,
имеет только одно значение и поэтому является однозначной.
Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.
Если p
- рациональное, то его можно представить в виде:
,
где m, n
- целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n
величин, при k = k 0
= 0, 1, 2, ... n-1
,
дают n
различных значений kp
:
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0
+ n
имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2
π
,
имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k
мы получаем те же значения z p
,
что и для k = k 0
= 0, 1, 2, ... n-1
.
Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.
В частности, корень степени n
имеет n
значений. В качестве примера рассмотрим корень n
- й степени действительного положительного числа z = x
.
В этом случае φ 0 = 0
, z = r = |z| = x
,
.
.
Так, для квадратного корня, n = 2
,
.
Для четных k, (- 1
)
k = 1
.
Для нечетных k, (- 1
)
k = - 1
.
То есть квадратный корень имеет два значения: + и - .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1
ст. Брюховецкой
муниципального образования Брюховецкий район
Учитель математики
Гученко Анжела Викторовна
2014 год
Функция у =
, ее свойства и график
Тип урока: изучение нового материала
Цели урока:
Задачи, решаемые на уроке:
научить учащихся самостоятельно работать;
высказывать предположения и догадки;
уметь делать обобщение изучаемых факторов.
Оборудование: доска, мел, мультимедийный проектор, раздаточный материал
Хронометраж урока.
Определение темы урока совместно с учащимися – 1мин.
Определение целей и задач урока совместно с учащимися – 1мин.
Актуализация знаний (фронтальный опрос) – 3мин.
Устная работа - 3мин.
Объяснение нового материала, построенное на создании проблемных ситуаций - 7мин.
Физминутка – 2мин.
Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях и определением свойств функции, работа с учебником – 10мин.
Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразований графиков – 9мин .
Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.
Задание на дом – 1мин.
Итого 40 минут.
Ход урока.
Определение темы урока совместно с учащимися (1мин).
Тема урока определяется учащимися при помощи наводящих вопросов:
функция - работа, производимая органом, организмом в целом.
функция - возможность, опция, умение программы или прибора.
функция - обязанность, круг деятельности.
функция персонажа в литературном произведении.
функция - вид подпрограммы в информатике
функция в математике - закон зависимости одной величины от другой.
Определение целей и задач урока совместно с учащимися (1мин).
Учитель при помощи учащихся формулирует и проговаривает цели и задачи данного урока.
Актуализация знаний (фронтальный опрос – 3мин).
Устная работа – 3 мин.
Фронтальная работа.
(А и В принадлежат, С нет)
Объяснение нового материала (построено на создании проблемных ситуаций – 7мин).
Проблемная ситуация: описать свойства неизвестной функции.
Разбить класс на команды по 4-5 человек, раздать бланки для ответов на поставленные вопросы
Бланк №1
у=0, при х=?
Область определения функции.
Множество значений функции.
На каждый вопрос отвечает один из представителей команды, остальные команды голосуют «за» или «против» сигнальными карточками и, если нужно, дополняют ответы одноклассников.
Вместе с классом сделать вывод об области определения, множестве значений, нулях функции у=.
Проблемная ситуация : попробовать построить график неизвестной функции (идет обсуждение в командах, поиск решения).
С учителем вспоминается алгоритм построения графиков функций. Учащиеся командами пробуют изобразить график функции у= на бланках, затем обмениваются бланками друг с другом для само- и взаимопроверки.
Физминутка (Клоунада)
Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях – 10мин.
После общего обсуждения выполняется задание построения графика функции у= индивидуально каждым учеником в тетради. Учитель в это время оказывает дифференцированную помощь учащимся. После выполнения задания учащимися на доске показывается график функции и учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:
Вывод: вместе с учащимися сделать еще раз вывод о свойствах функции и прочитать их по учебнику:
Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразования графика – 9мин.
Учащиеся работают по своей карточке (по вариантам), затем меняются и проверяют друг друга. После на доске показываются графики, и учащиеся оценивают свою работу, сравнивая с доской.
Карточка №1
Карточка №2
Вывод: о преобразованиях графика
1) параллельный перенос вдоль оси ОУ
2) сдвиг вдоль оси ОХ.
9. Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.
СЛАЙДЫ – вставить пропущенные слова
Область определения данной функции, все числа, кроме…(отрицательных).
График функции расположен в … (I) четверти.
При значении аргумента х = 0, значение… (функции) у = …(0).
Наибольшее значение функции… (не существует), наименьшее значение - …(равно 0)
10. Задание на дом (с комментариями – 1 мин).
По учебнику - §13
По задачнику – №13.3, №74 (повторение неполных квадратных уравнений)
N-й степени из действительного числа, отметили, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и т.д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень любой нечетной степени. Но тогда следует подумать и о функции вида , о ее графике, о ее свойствах. Этим мы и займемся в нас стоящем параграфе. Сначала поговорим о функции в случае неотрицательных значений аргумента .
Начнем с известного вам случая, когда n =2, т.е. с функции На рис. 166 изображен график функции и график функции у = х 2 , х>0. Оба графика представляют собой одну и ту же кривую - ветвь параболы, только по-разному расположенную на координатной плоскости. Уточним: эти графики симметричны относительно прямой у = х, поскольку состоят из точек, симметричных друг другу относительно указанной прямой. Смотрите: на рассматриваемой ветви параболы у = х 2 есть точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), а на графике функции точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
Точки (2; 4) и (4; 2), (3; 9) и (9; 3), (4; 16) и (16; 4) симметричны относительно прямой у = х, (а точки (0; 0) и (1; 1) лежат на этой прямой). И вообще, для любой точки (а; а 2) на графике функции у = х 2 есть симметричная ей относительно прямой у = x точка (а 2 ; а) на графике функции и обратно. Справедлива следующая теорема.
Доказательство.
Будем считать для определенности, что а и b - положительные числа. Рассмотрим треугольники ОАМ и ОВР (рис. 167). Они равны, значит, ОР = ОМ и . Но тогда и поскольку прямая у = х - биссектриса угла АОВ. Итак, треугольник РОМ - равнобедренный, ОН - его биссектриса, а значит, и ось симметрии. Точки М и Р симметричны относительно прямой ОН, что и требовалось доказать.
Итак, график функции можно получить из графика функции у = х 2 , х>0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. Аналогично график функции можно получить из графика функции у = х 3 , х> 0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у=х; график функции можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х и т.д. Напомним, что график функции напоминает по виду ветвь параболы Чем больше п, тем круче эта ветвь устремляется вверх на промежутке и тем ближе подходит к оси х в окрестности точки х=0 (рис. 168).
Сформулируем общий вывод: график функции симметричен графику функции , относительно прямой у = х(рис. 169).
Свойства функции
1)
2) функция не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения;
6) непрерывна;
7)
Обратите внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 169: Только что мы перечислили семь свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Но, уточним, пока одинаковы.
Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково, и ввели понятия выпуклости вверх и выпуклости вниз. График функции обращен выпуклостью вверх, тогда как график функции у = х п обращен выпуклостью вниз.
Обычно говорят, что непрерывная функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 170); непрерывная функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 171).
Свойство выпуклости мы будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика. Отметим его"(продолжив нумерацию описанных ранее свойств) для рассматриваемой функции:
8) функция выпукла вверх на луче
В предыдущей главе мы познакомились еще с одним свойством функции - дифференцируемостью, видели, что функция у = х п дифференцируема в любой точке, ее производная равна пх n-1 . Геометрически это означает, что в любой точке графика функции у = х п к нему можно провести касательную. Этим же свойством обладает и график функции : в любой его точке к графику можно провести касательную. Таким образом, мы можем отметить еще одно свойство функции
9) функция дифференцируема в любой точке х > 0.
Обратите внимание: о дифференцируемости функции в точке х = 0 речь не идет - в этой точке касательная к графику функции совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс.
Пример 1. Построить график функции
Решение.
1)Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; -4) - пунктирные прямые х = -1 и у = -4 на рис. 172.
2) «Привяжем» функцию к новой системе координат. Это и будет требуемый график.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение. Первый способ.
1) Введем в рассмотрение две функции
2) Построим график функции
3) Построим график линейной функции у=2-х (см. рис. 173).
4) Построенные графики пересекаются в одной точке А, причем по графику можно сделать предположение, что координаты точкиА таковы: (1; 1). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 1) принадлежит и графику функции , и графику функции у=2-x. Значит, наше уравнение имеет один корень: х = 1 - абсцисса точки А.
Второй способ.
Геометрическая модель, представленная на рис. 173, наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет очень изящно решить уравнение (и которым мы уже воспользовались в § 35 при решении примера 2):
Если функция у=f(х) возрастает, а функция у=g(х) убывает и если уравнение f(х)=g(х) имеет корень, то он только один.
Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить заданное уравнение:
1) заметим, что при х = 1 выполняется равенство , значит, х = 1 - корень уравнения (этот корень мы угадали);
2) функция y=2-x убывает, а функция возрастает; значит, корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение x = 1.
Ответ : x = 1.
До сих пор мы говорили о функции только для неотрицательных значений аргумента. Но ведь если п - нечетное число, выражение имеет смысл и для x <0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.
Собственно говоря, к перечисленным добавится только одно свойство:
если n - нечетное число (n = 3,5, 7,...), то - нечетная функция.
В самом деле, пусть для нечетного показателя n такие преобразования верны. Итак, f(-x) = -f(x), а это и означает нечетность функции.
Как же выглядит график функции в случае нечетного показателя n? При так, как показано на рис. 169, - это ветвь искомого графика. Добавив к ней ветвь, симметричную ей относительно начала координат (что, напомним, характерно для любой нечетной функции), получим график функции (рис. 174). Обратите внимание: ось у является касательной к графику в точке х = 0.
Итак, повторим еще раз:
если п - четное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 169;
если п - нечетное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 174.
Пример 3.
Построить и прочитать график функции у = f(x), где
Решение.
Сначала построим график функции и выделим его часть на луче (рис. 175).
Затем построим график функции и выделим его часть на открытом луче (рис. 176). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и будет график функции у = f(x)(рис. 177).
Перечислим (опираясь на построенный график) свойства функции у = f(x):
1)
2) ни четна, ни нечетна;
3) убывает на луче , возрастает на луче
4) не ограничена снизу, ограничена сверху;
5) нет наименьшего значения, а (достигается в точке х = 1);
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз при , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз при
9) функция дифференцируема всюду, кроме точек х = 0 и х = 1.
10) график функции имеет горизонтальную асимптоту это означает, напомним, что
Пример 4. Найти область определения функции:
Решение,
а) Под знаком корня четной степени должно находиться неотрицательное число, значит, задача сводится к решению неравенства
б) Под знаком корня нечетной степени может находиться любое число, значит, здесь на х не накладывается никаких ограничений, т.е. D(f) = R.
в) Выражение имеет смысл при условии а выражение Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: т.е. задача сводится к решению системы неравенств:
Решая неравенство
Решим неравенство Разложим левую часть неравенства на множители: Левая часть неравенства обращается в 0 в точках -4 и 4. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 178). Числовая прямая разбивается указанными точками на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)=(4-х)(4 + х) сохраняет постоянный знак (знаки указаны на рис. 178). Промежуток, на котором выполняется неравенство р(х)>0, заштрихован на рис. 178. По условию задачи нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство р(х) = 0. Таких точек две: х =-4, х =4 - они отмечены на рис. 178 темными кружочками. Таким образом, на рис. 178 представлена геометрическая модель решения второго неравенства системы.
Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для первого - верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 179). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок [-1, 4].
Ответ. D(f) = [-1,4].
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронное учебное пособие к учебнику Мордковича А.Г.
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса
Обычно при построении графиков функций мы пользуемся таблицей, в которой записываем значения х и у. Например, для функции $y=5x^2$ удобно использовать следующую таблицу: Отметим полученные точки на декартовой системе координат и аккуратно соединим их гладкой кривой. Наша функция не ограничена. Только этими точками мы можем подставить совершенно любое значение х из заданной области определения, то есть тех х, при которых выражение имеет смысл.
На одном из прошлых уроков мы изучили новую операцию извлечения корня квадратного . Возникает вопрос, а можем ли мы, используя эту операцию, задать какую-нибудь функцию и построить ее график? Воспользуемся общим видом функции $y=f(x)$. y и х оставим на своем месте, а вместо f введем операцию корня квадратного: $y=\sqrt{x}$.
Зная математическую операцию, мы смогли задать функцию.
Решение.
Мы можем решить наш пример двумя способами. В каждой букве опишем разные способы.
А) Вернемся к графику функции, построенному выше, и отметим требуемые точки отрезка. Хорошо видно, что при $х=9$ функция больше всех остальных значений. Значит и наибольшее значение она достигает в этой точке. При $х=4$ значение функции ниже всех остальных точек, а значит, тут и есть наименьшее значение.
$y_{наиб}=\sqrt{9}=3$, $y_{наим}=\sqrt{4}=2$.
Б) Мы знаем, что наша функция возрастающая. Значит, каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение достигаются на концах отрезка:
$y_{наиб}=\sqrt{11}$, $y_{наим}=\sqrt{2}$.
$\sqrt{x}=12-x$.
Ребята, а можем ли мы быть уверены, что больше решений у этого примера нет? Одна из функций возрастает, другая - убывает. В общем случае, они либо не имеют общих точек, либо пересекаются только в одной.
Пример 3.
$\begin {cases} -x, x 9. \end {cases}$
График и свойства функции у
= │ах
│ (модуль)
Рассмотрим функцию у = │ах │, где а - определенное число.
Областью определения функции у = │ах │, является множество всех действительных чисел. На рисунке изображены соответственно графики функций у = │х │, у = │ 2х │, у = │х /2│.
Можно заметить, что график функции у = | ах | получается из графика функции у = ах , если отрицательную часть графика функции у = ах (она находится ниже оси Ох ), отразить симметрично этой оси.
По графику легко усмотреть свойства функции у = │ ах │.
При х = 0, получаем у = 0, то есть графику функции принадлежит начало координат; при х = 0, получаем у > 0, то есть все другие точки графика лежат выше оси Ох .
Для противоположных значений х , значения у будут одинаковыми; ось Оу это ось симметрии графика.
К примеру, можно построить график функции у = │х 3 │. Чтобы сравнить функции у = │х 3 │и у = х 3 , составим таблицу их значений при одинаковых значениях аргументов.
Из таблицы видим, что для того, чтобы построить график функции у = │х 3 │, можно начать с построения графика функции у = х 3 . После этого стоит симметрично оси Ох отобразить ту его часть, которая находится ниже этой оси. В результате получим график, изображенный на рисунке.
График и свойства функции у
= x
1/2
(корень)
Рассмотрим функцию у = x 1/2 .
Областью определения этой функции является множество неотрицательных действительных чисел, так как выражение x 1/2 имеет значение только при х > 0.
Построим график. Для составления таблицы ее значений используем микрокалькулятор, округляя значения функции до десятых.
После нанесения на координатную плоскость точек, и плавного их соединения, получаем график функции у = x 1/2 .
Построенный график позволяет сформулировать некоторые свойства функции у = x 1/2 .
При х = 0, получаем у = 0; при х > 0, получаем у > 0; график проходит через начало координат; остальные точки графика расположены в первой координатной четверти.
Теорема . График функции у = x 1/2 симметричен графику функции у = х 2 , где х > 0, относительно прямой у = х .
Доказательство . Графиком функции у = х 2 , где х > 0, является ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Пусть точка Р (а ; b ) - произвольная точка этого графика. Тогда истинно равенство b = а 2 . Поскольку по условию число а неотрицательное, то истинно также и равенство а = b 1/2 . А это означает, что координаты точки Q (b ; а ) превращают формулу у = x 1/2 в истинное равенство, или иначе, точка Q (b ; а у = x 1/2 .
Так же доказывается, что если точка М (с ; d ) принадлежит графику функции у = x 1/2 , то точка N (d ; с ) принадлежит графику у = х 2 , где х > 0.
Получается, что каждой точке Р (а ; b ) графика функции у = х 2 , где х > 0, соответствует единственная точка Q (b ; а ) графика функции у = x 1/2 и наоборот.
Остается доказать, что точки Р (а ; b ) и Q (b ; а ) симметричны относительно прямой у = х . Опустив перпендикуляры на координатные оси из точек Р и Q , получаем на этих осях точки Е (а ; 0), D (0; b ), F (b ; 0), С (0; а ). Точка R пересечения перпендикуляров РЕ и QC имеет координаты (а ; а ) и поэтому принадлежит прямой у = х . Треугольник PRQ является равнобедренным, так как его стороны RP и RQ равны │ b – а │ каждая. Прямая у = х делит пополам как угол DOF , так и угол PRQ и пересекает отрезок PQ в определенной точке S . Поэтому отрезок RS является биссектрисой треугольника PRQ . Поскольку биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой, то PQ ┴RS и PS = QS . А это означает, что точки Р (а ; b ) и Q (b ; а ) симметричные относительно прямой у = х .
Поскольку график функции у = x 1/2 симметричен графику функции у = х 2 , где х > 0, относительно прямой у = х , то графиком функции у = x 1/2 является ветвь параболы.
kayabaparts.ru - Прихожая, кухня, гостиная. Сад. Стулья. Спальня