3 свойства параллельных прямых. Признак параллельности прямых

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || С E

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой .

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB . Опустим на AB из точки С перпендикуляр С D и затем проведем С E ^ С D , что возможно. Прямая CE параллельна AB .

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M . Тогда из точки M к прямой С D мы имели бы два различных перпендикуляра M D и MС , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB , т.е. С E параллельна AB .

Следствие.

Два перпендикуляра (С E и DB ) к одной прямой (С D ) параллельны.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Так, если прямая С D , проведенная через точку С параллельна прямой AB , то всякая другая прямая С E , проведенная через ту же точку С , не может быть параллельна AB , т.е. она при продолжении пересечется с AB .

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (С E ) пересекается с одной из параллельных (СВ ), то она пересекается и с другой (AB ), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB , что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B ) параллельны одной и той же третьей прямой (С ) , то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M , то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С , что невозможно.

Теорема .

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной .

Пусть AB || С D и EF ^ AB .Требуется доказать, что EF ^ С D .

Перпендикуляр E F , пересекаясь с AB , непременно пересечет и С D . Пусть точка пересечения будет H .

Предположим теперь, что С D не перпендикулярна к EH . Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK , будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB : одна С D , по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH .

Эта глава посвящена изучению параллельных прямых. Так называются две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Отрезки параллельных прямых мы видим в окружающей обстановке - это два края прямоугольного стола, два края обложки книги, две штанги троллейбуса и т. д. Параллельные прямые играют в геометрии очень важную роль. В этой главе вы узнаете о том, что такое аксиомы геометрии и в чём состоит аксиома параллельных прямых - одна из самых известных аксиом геометрии.

В п. 1 мы отмечали, что две прямые либо имеют одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не пересекаются.

Определение

Параллельность прямых а и b обозначают так: а || b.

На рисунке 98 изображены прямые а и b, перпендикулярные к прямой с. В п. 12 мы установили, что такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Рис. 98

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 99, а отрезки АВ и CD параллельны (АВ || CD), а отрезки MN и CD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 99, б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей (рис. 99, в).

Рис. 99 Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 100). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 100 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы : 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Рис. 100

Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).

Докажем, что а || b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 101, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.

Рис. 101

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН 1 , равный отрезку АН, как показано на рисунке 101, в, и проведём отрезок ОН 1 . Треугольники ОНА и ОН 1 В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н 1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н 1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 - прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой HH 1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1 =∠2 (рис. 102).

Рис. 102

Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы 1 и 3 - накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (см. рис. 102).

Так как углы 3 и 4 - смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Практические способы построения параллельных прямых

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертёжный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами α и β, равны.

Рис. 103 На рисунке 104 показан способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертёжной практике.

Рис. 104 Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скреплённые шарниром, рис. 105).

Рис. 105

Задачи

186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что а || b, если:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а угол 7 в три раза больше угла 3.

Рис. 106

187. По данным рисунка 107 докажите, что АВ || DE.

Рис. 107

188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

189. Используя данные рисунка 108, докажите, что ВС || AD.

Рис. 108

190. На рисунке 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE || АС.

Рис. 109

191. Отрезок ВК - биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что прямые КМ и АВ параллельны.

192. В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

193. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.

195. Начертите треугольник АВС и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.

На плоскости прямые называются параллельными, если у них нет общих точек, то есть они не пересекаются. Для обозначения параллельности используют специальный значок || (параллельные прямые a || b).

Для прямых, лежащих в пространстве, требования отсутствия общих точек недостаточно - чтобы они в пространстве были параллельными, они должны принадлежать одной плоскости (иначе они будут скрещивающимися).

За примерами параллельных прямых далеко идти не надо, они сопровождают нас повсюду, в комнате - это линии пересечения стены с потолком и полом, на тетрадном листе - противоположные края и т.д.

Совершенно очевидно, что, имея параллельность двух прямых и третью прямую, параллельную одной из первых двух, она будет параллельна и второй.

Параллельные прямые на плоскости связаны утверждением, которое не доказывается с помощью аксиом планиметрии. Его принимают как факт, в качестве аксиомы: для любой точки на плоскости, не лежащей на прямой, существует единственная прямая, которая проходит через нее параллельно данной. Эту аксиому знает каждый шестиклассник.

Ее пространственное обобщение, то есть утверждение, что для любой точки в пространстве, не лежащей на прямой, существует единственная прямая, которая проходит через нее параллельно данной, легко доказывается с помощью уже известной нам аксиомы параллельности на плоскости.

Свойства параллельных прямых

• Если любая из параллельных двух прямых параллельна третьей, то они взаимно параллельны.

Этим свойством обладают параллельные прямые и на плоскости, и в пространстве.
В качестве примера рассмотрим его обоснование в стереометрии.

Допустим параллельность прямых b и с прямой a.

Случай, когда все прямые лежат в одной и той же плоскости оставим планиметрии.

Предположим, a и b принадлежат плоскости бетта, а гамма - плоскость, которой принадлежат a и с (по определению параллельности в пространстве прямые должны принадлежать одной плоскости).

Если допустить, что плоскости бетта и гамма различные и отметить на прямой b из плоскости бетта некую точку B, то плоскость, проведенная через точку B и прямую с должна пересечь плоскость бетта по прямой (обозначим ее b1).

Если бы полученная прямая b1 пересекала плоскость гамма, то, с одной стороны, точка пересечения должна была бы лежать на a, поскольку b1 принадлежит плоскости бетта, а с другой, она должна принадлежать и с, поскольку b1 принадлежит третьей плоскости.
Но ведь параллельные прямые a и с пересекаться не должны.

Таким образом, прямая b1 должна принадлежать плоскости бетта и при этом не иметь общих точек с a, следовательно, согласно аксиоме параллельности, она совпадает с b.
Мы получили совпадающую с прямой b прямую b1, которая принадлежит одной и той же плоскости с прямой с и при этом ее не пересекает, то есть b и с - параллельны

• Через точку, которая не лежит на заданной прямой, параллельная данной может проходить лишь одна единственная прямая.

• Лежащие на плоскости перпендикулярно третьей две прямые параллельны.

• При условии пересечения плоскости одной из параллельных двух прямых, эту же плоскость пересекает и вторая прямая.

• Соответствующие и накрест лежащие внутренние углы, образованные пересечением параллельных двух прямых третьей, равны, сумма у образовавшихся при этом внутренних односторонних равна 180°.

Верны и обратные утверждения, которые можно принять за признаки параллельности двух прямых.

Условие параллельности прямых

Сформулированные выше свойства и признаки представляют собой условия параллельности прямых, и их вполне можно доказать методами геометрии. Иначе говоря, для доказательства параллельности двух имеющихся прямых достаточно доказать их параллельность третьей прямой либо равенство углов, будь то соответствующих или накрест лежащих, и т.п.

Для доказательства в основном используют метод «от противного», то есть с допущения, что прямые непараллельны. Исходя из этого допущения, легко можно показать, что в этом случае нарушаются заданные условия, например, накрест лежащие внутренние углы оказываются неравными, что и доказывает некорректность сделанного допущения.

Страница 1 из 2

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ. Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ. Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Рис. 71

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ. Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72).

Рис. 72

Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ. Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б).

Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC 1 , равный треугольнику ABC, с вершиной C 1 в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC 1 с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC 1 совпадает с прямой a, а прямая BC 1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C 1 проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ. Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 и \(\angle\)2 = \(\angle\)3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ. Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать.
Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ. Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a 1 и b, были равны (рис. 76).
По признаку параллельности прямых прямые a 1 и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a 1 .
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с
параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ. Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°.
Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ. Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по по разные стороны от прямой BC (рис. 78).
Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ. Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.