Признак деления на 4. Основные признаки делимости

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

• Для14: на 2 и на 7;
• Для 15: на 3 и на 5;
• Для 18: на 2 и на 9;
• Для 21: на 3 и на 7;
• Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
• Для 24: на 3 и на 8;
• Для 26: на 2 и на 13;
• Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

Продолжаем изучать признаки делимости . В этой статье разобран признак делимости на 4 . Сначала дана его формулировка и приведены примеры использования. Дальше показано доказательство признака делимости на 4 . В заключение рассмотрены подходы, позволяющие доказывать делимость на 4 чисел, заданных в виде значения буквенного выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 4, примеры

Чтобы проверить, делится ли на 4 данное , проще всего выполнить деление непосредственно, из однозначных чисел на 4 делятся только 4 и 8 . Разделить двузначное натуральное число на 4 также не составит труда (даже при устном делении). Например, 24 делится на 4 без остатка, так как 24:4=6 , а 83 не делится нацело на 4 , так как 83:4=20 (ост. 3) (при необходимости смотрите статьи и ). Но чем больше цифр содержится в записи числа, тем «неприятнее» проводить деление.

Для более простой проверки делимости данного многозначного числа существует признак делимости на 4 , который сводит исследование данного числа a на его способность делиться на 4 к проверке на делимость однозначного или двузначного числа. Приведем формулировку этого признака. Целое число a делится на 4 , если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4 ; если же составленное число не делится на 4 , то и число a не делится на 4 .

Рассмотрим примеры применения признака делимости на 4 .

Пример.

Какие из чисел −98 028 , 7 612 и 999 888 777 делятся на 4 ?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 4 .

Две последние цифры −98 028 дают число 28 , так как 28 делится на 4 (28:4=7 ), то и число −98 028 делится на 4 .

Две последние цифры числа 7 612 составляют число 12 , а 12 делится на 4 (12:4=3 ), следовательно, 7 612 делится на 4 .

Наконец, две последние цифры числа 999 888 777 дают число 77 , так как 77 не делится нацело на 4 (77:4=19 (ост.1) ), то и исходное число не делится на 4 .

Ответ:

−98 028 и 7 612 .

А как применять признак делимости на 4 , если две последние цифры в записи числа представляют собой, например, 01 , 02 , 03 , …, 09 ? В этих случаях цифру 0 , стоящую слева, нужно отбросить, после чего останется однозначное число 1 , 2 , 3 , …, 9 .

Пример.

Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4 ?

Решение.

Посмотрим на две последние цифры в записи числа 75 003 - видим 03 , отбрасываем нуль слева и имеем число 3 . Так как 3 не делится на 4 , то по признаку делимости на 4 можно сделать вывод о том, что 75 003 не делится на 4 .

Аналогично две последние цифры в записи числа −88 108 составляют число 8 , а так как 8 делится на 4 , то и число −88 108 делится на 4 .

Ответ:

75 003 не делится на 4 , а −88 108 – делится.

Отдельно нужно сказать о числах, в записи которых справа две подряд цифры (или большее их количество) являются нулями. Приведем примеры таких чисел: 100 , 893 900 , 40 000 , 373 002 000 и т.п. Такие числа делятся на 4 . Обоснуем это.

Число 100 делится на 4 . Действительно, 100:4=25 . позволяет представить любое другое целое число a , запись которого оканчивается двумя нулями, в виде произведения a 1 ·100 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 588 300=5 883·100 и 30 000=300·100 . А произведение a 1 ·100 делится на 4 , так как содержит множитель 100 , который делится на 4 (смотрите свойства делимости). Так доказано, что любое целое число, в записи которого справа находятся два нуля, делится на 4 .

Доказательство признака делимости на 4

Для доказательства признака делимости на 4 нам понадобится следующее представление натурального числа a . Любое натуральное число a можно представить в виде a=a 1 ·100+a 0 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи убрать две последние цифры, а число a 0 отвечает двум последним цифрам в записи числа a . Например, 5 431=54·100+31 . Если же число a однозначное или двузначное, то a=a 0 .

Также нам пригодятся два свойства делимости:

• чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b ;
• если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь можно привести доказательство признака делимости на 4 , который мы предварительно переформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a , делилось на 4 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Для остальных целых a a есть число положительное, и его можно представить как , о чем мы сказали перед теоремой.

В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a 1 ·100 всегда делится на 4 . Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.

Если число a делится на 4 , то и модуль числа a делится на 4 , тогда из равенства следует делимость на 4 числа a 0 . Этим доказана необходимость.

С другой стороны из делимости a 0 на 4 и равенства следует делимость на 4 модуля a , откуда следует делимость на 4 и самого числа a . Этим доказана достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Иногда требуется проверить делимость на 4 целого числа, которое задано в виде значения некоторого выражения. В таких случаях провести непосредственное деление не представляется возможным. Также использование признака делимости на 4 возможно далеко не всегда. Как же быть в этих случаях?

Основная идея состоит в приведении исходного выражения к произведению нескольких множителей, один из которых делится на 4 . В этом случае на основании соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости исходного выражения на 4 .

Иногда получить такое представление помогает . Приведем пример для пояснения.

Пример.

Делится ли на 4 значение выражения при некотором натуральном n ?

Решение.

Представим 9 как 8+1 , после чего воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение делится на 4 , так как содержит множитель 4 , а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Следовательно,

Ответ:

Да.

Достаточно часто доказать делимость на 4 некоторого выражения позволяет . Покажем, как это делается, воспользовавшись условием предыдущего примера.

Пример.

Докажите, что делится на 4 при любом натуральном n .

Решение.

Покажем, что при n=1 значение выражения делится на 4 . Имеем , а 4 делится на 4 .

Предположим, что делится на 4 при n=k , то есть, будем считать, что делится на 4 .

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4. Выполнил ученик 6 класса МБОУ Помринская ОШ Калинин Павел

2 слайд

Описание слайда:

ВВЕДЕНИЕ Имея дело с натуральными числами, иногда возникает вопрос о выполнимости действия деления нацело этих чисел, т.е. о делимости этих чисел. В данной работе я остановлюсь на признаке деления на четыре. Для выяснения того, делится ли одно число на другое,существует несколько способов. Один из них состоит в непосредственном делении этих чисел. Другим способом выяснения делимости является применение признаков делимости. Мне стало интересно, а существуют ли еще признаки делимости, кроме тех, что мы изучали в 6 классе (на 2,3,5,9,10), и как их вывести. Для своей работы я выбрал признак делимости на 4 и решил узнать, можно ли определить только по виду числа, делится оно на 4 или нет

3 слайд

Описание слайда:

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ. Задача Как по виду числа, не выполняя деления, узнать, делится число на 4 или нет. Постановка проблемы: Сформулировать признак делимости на 4 для любого натурального числа.

4 слайд

Описание слайда:

РАЗБОР ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ 3.Рассмотрим частные случаи, выполняя деление столбиком, записывая только ответ. 100/4=25 5000/4=1250 70000/4=17500 60/4=15 6328/4=1582 7777/4=1944,75 598/4=149,5 9184/4=2286 8592/4=2148 913/4=228,25 654/4=163,5 3647/4=911,75 927/4=231,75 3583/4=895,75 6547/4=1636,75 132/4=33 554/4=138,5 952/4=238 1384/4=346 51/4=12,75 7234/4=1808,5 30/4=7,5

5 слайд

Описание слайда:

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ Число Делимость на 4 (+/-) Число Делимость на 4 (+/-) 100 + 913 - 5000 + 3583 - 70000 + 6547 - 60 + 132 + 6328 + 232 + 7777 - 554 - 9184 + 952 + 598 - 1384 + 8592 + 51 - 654 - 7234 - 3647 - 30 -

6 слайд

Описание слайда:

ГИПОТЕЗА Возникает гипотеза, что на 4 делятся те и только те числа, которые заканчиваются на два нуля или две последние цифры которого образуют число, делящееся на четыре.

7 слайд

Описание слайда:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ Теорема 1 (теорема о делимости суммы). Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. Теорема 2 (теорема о делимости произведения). Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

8 слайд

Описание слайда:

1СЛУЧАЙ 1.Рассмотрим число а=100∙n, где n – натуральное число. Тогда по теореме 2 число а делится на 4.

9 слайд

Описание слайда:

2 СЛУЧАЙ 2. Рассмотрим число вида а=100∙n + 10∙k + r= 100∙n + (10∙k + r), k,r – натуральные числа и 0. Здесь n – число сотен, к– число десятков, r– число единиц. Тогда по теореме 1: если первое слагаемое 100∙n делится на 4 и второе слагаемое (10∙k + r) тоже делится на 4, то и всё число делится на 4. Первое слагаемое 100∙n делится на 4, т.к. одним из множителей является число 100, которое делится на 4. Значит, 100∙n тоже делится на 4. Второе слагаемое (10∙k + r) тоже должно делиться на 4. А оно будет делиться на 4 в том случае, если будет представлять собой число, которое делится на 4. В то же время второе слагаемое (10k + r) является двумя последними цифрами числа. Отсюда получаем, что, если две последние цифры числа представляют собой число, делящееся на 4, то и всё число делится на 4. Таким образом, гипотеза доказана.

10 слайд

Описание слайда:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Результаты данного исследования позволяют сравнительно быстро определить делится число на 4 или нет без необходимости выполнять фактическое деление. Признаки делимости используются при сокращении дробей. Также эти знания понадобятся при нахождении наибольшего общего делителя чисел и при нахождении общего знаменателя. Признак делимости на 4 может понадобится и при решении задач такого вида: Можно ли разместить 718 человек в четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест? В записи 4791*31* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 4. И, конечно, мы используем признаки делимости при устном счете в быту, в магазине и т.д.

m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.